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【導讀】負反饋電路分析最常見的方法是雙端口分析（TPA）和回歸比（RRA）分析。兩者既有不同，也有相似，常讓人困惑，本設計實例用大家熟悉的電路實例深入闡述這兩種技術。在圖1的兩個框圖中，使用下標TP和RR來區分雙端口和回歸比這兩種類型。

具體而言，α_TP和α_RR是開環增益，而?_TP和?_RR是反饋系數。圖1a假設是單向塊，圖1b則更通用，因為它還考慮了誤差放大器周圍的饋通（feedthrough），如增益塊α_ft所表示的。

圖1：（a）雙端口（TP）和（b）回歸比（RR）分析的負反饋框圖。

雙端口分析（TPA）

取決于s_I和s_O是電壓還是電流，有四種可能的拓撲結構，如圖2中的運放所示。在每個分圖題中，連字符前面的一項是指輸入相加的方式（串聯電壓，并聯電流），而連字符后面的一項是指反饋網絡采樣s_O以產生反饋信號s_F的方式（并聯電壓，串聯電流）。對每個拓撲結構，閉環增益呈現形式為：

其中：

是環路增益，A_ideal是極限條件（T_TP→ ∞）中s_O/s_I的值，通過使α_TP→ ∞得到。另外，反饋系數是：

圖2：使用運放來說明四種基本反饋拓撲。

TPA尋求一種會考慮放大器和反饋網絡之間任何交互（如加載）的α_TP表達式。負反饋將每個端口的開環電阻r_pa轉換為閉環電阻，使這項任務變得容易：

8

串聯情況下為+1，并聯情況下為-1。如果T_TP 足夠大，在串聯情況下可將R視為開路，在并聯情況下可將其視為短路。

作為第一個例子，我們將TPA應用到圖3a的電流放大器，該電路有：

為得到α_TP，我們修改了誤差放大器，如圖3b所示。圖3a中輸入源看到的電阻是R_i= R₂/(1 + α_v)，負載看到的電阻是R_o = R₁(1 + α_v)。對于大的α_v，我們期望R_i很小、R_o很大。因此，如果我們將R_o近似為開路（OC），那么從放大器的輸入端口看到的反饋網絡就是R₂ + R₁的簡單串聯組合。同樣，如果我們

圖3：（a）端接于短路負載的并聯-串聯配置；（b）使用TPA查找開環參數α_TP、r_ia,和r_oa的電路。

將R_i近似為短路（SC），則從放大器輸出端口看到的反饋網絡就是R₂//R₁的簡單并聯組合。因此我們有：

表明開環增益為：

注意，α_TP ≠ α_v。簡化后的循環增益：

重新考慮α_v = 10 V/V和R₁ = R₂ = 10kΩ的例子。帶入上面的等式，給出：

盡管有OC和SC近似值，但通過與直接分析得出的 A_exact = 1.909 A/A相比，這相當有利。為確保這種近似性不是偶然的，我們來檢查R_i和R_o的值。通過檢查圖3b，我們有r_ia=R₂+R₁和r_oa=R₂//R₁。應用等式（4），我們得到：

從而證實R_i比電路中的其它電阻小得多，R_o大得多。

回歸比分析（RRA）

這種方法，如圖1b的塊圖所示，可計算閉環增益：

其中，T_RR是環路增益，A_ideal 和α_ft分別是T_RR → ∞和T_RR→ 0極限條件下s_O/s_I的值。這些極限是通過使圖1b中的α_RR → ∞ 和α_RR → 0來實現。根據以下流程，得到T_RR為誤差放大器的從屬源α_RRs_E的回歸比：

（a）設置s_I → 0； （b）在從屬源α_RRs_E的緊下游立即切斷反饋環； （c）與α_RRs_E源相同類型和極性的測試信號s_T通過電路下游； （d）找到由從屬源本身返回的信號s_R； （e）獲得回路增益作為回歸比。

隨著分析的進行，我們發現將TRR表達為積很方便，類似于公式（2）：

得到反饋系數β_RR：

或更簡單地，β_RR=T_RR/α_RR。

將這個過程應用于圖3a的電流放大器，產生了圖4a的電路，通過檢查，我們有v_R = α_vv_D = α_v(–v_T)，所以：

因此，α_RR = α_v和β_RR = T_RR/α_RR = 1。使α_v → 0，以便得到饋通增益，如圖4b所示。通過檢查，i_O = i_I，所以，α_ft= i_O/i_I = 1 A/A。再考慮α_v = 10V/V和R₁= R₂ = 10kΩ的例子，我們現在有：

對比公式（14）與公式（8），觀察各個T、α和β值的不同。另外，A_RR是準確的，而A_TP只是近似。為了符合圖1a中采用單向塊這一假定，TPA通過使T_TP = 20（與T_RR = 10相比）盡可能地接近A_exact。對于α_v的當前值來說，使T_TP = 21（而非20）將導致A_TP = A_exact，這可以很容易驗證。但是，對于饋通變得更相關的較低值（例如α_v=1V/V）來說，它不起作用。 α_v = 0時，差異最大，其中，A_RR=A_exact=1 V/V，但A_TP = 0。

圖4：用于得到圖3a中電流放大器的（a）環路增益T_RR和（b）饋通增益α_ft的電路。

圖5：（a）并聯-并聯配置；（b）得到誤差增益α_TP的電路。

更復雜的例子

我們將這兩種方法應用于圖5a的I-V轉換器，但是使用具有非無限輸入阻抗r_i和非零輸出阻抗r_o的更真實的運放模型。正如我們知道的，該電路有：

由于這是一個并聯-并聯拓撲結構，所以反饋電阻同時為輸入和輸出兩個端口的接地電阻，如圖5b所示。我們有：

表明開環增益：

再次注意α_TP ≠α_v。而且，環路增益為：

對于RRA，請參考圖6的電路，它分別給出：

所以環路和饋通增益簡化為：

注意，α_ft和A_ideal極性相反。我們針對一種容易想象的特定情況，即α_v = 60 V/V和r_i= r_o = R = 10kΩ，來比較這兩種方法。是的，用一款不太合格的運放，可以更好地顯示其差異。把這些數據帶入相關公式，得到：

圖6：用于得到圖5a中I-V轉換器的（a）環路增益T_RR和（b）饋通增益α_ft的電路。

注意α_TP和α_RR以及β_TP和β_RR的幅值、極性和量綱的差別。A_TP 和A_RR (=A_exact)也有細微差別。

如果運放r_o = 0，根據公式（18）將不存在饋通。在這種情況下，我們將得到：T_TP = T_RR = 30，A_TP = A_RR = –9.677V/mA。如果運放也有r_i = ∞，則T_TP = T_RR = 60，A_TP = A_RR = –9.836 V/mA。然而，仍然會有很大的差異，即α_TP = –600 V/mA和β_TP = ?0.1 mA/V，以及α_RR = 60 V/V 和β_RR = 1。盡管存在差異，這兩個參數集仍將設法提供相同的A值！

另外兩個例子

最后我們來看一看圖7a和b的單晶體管電路。圖7c中其共同小信號模型表明，誤差增益基于g_m（在運放的盒子中，它是基于α_v的）。而且，兩個電路都是串聯-輸入型的。然而，根據我們將輸出作為發射極電壓v_o還是作為集電極電流i_o，分別有并聯-輸出或串聯-輸出類型。兩個電路都很簡單，可以直接分析它們。但是，通過TPA和RRA進行研究將更具啟發性。

圖7：假定g_m = 40mA/V，r_π = 2.5kΩ，r_o = 40kΩ和R = 1.0kΩ。（a）串聯-并聯電路；（b）串聯-串聯電路；（c）其共同的小信號模型。

● 圖7a串聯-并聯電路的TPA：為得到A_ideal，讓g_m → ∞，如圖8a所示。這使得v_ε→ 0或v_o → v_i，意味著A_ideal = 1.0V/V (= 1/β_TP)。參照圖8b，通過檢查，我們有v_o=g_m(R//r_o)v_ε或α_TP=v_o/v_ε=g_m(R//r_o)。帶入數據，可以得到：

圖8：用于得到圖7a中串聯-并聯電路的（a）A_ideal和（b）α_TP的電路。

● 圖7a串聯-并聯電路的RRA：為得到T_RR，參見圖9a，其中i_r = g_mv_π = g_m[(-i_t)(r_π//R//r_o)]；為得到α_ft，參見圖9b，其中v_o = v_i(R//r_o)/[r_π + (R//r_o)]。所以：

帶入數據，得到：

圖9：用于得到圖7a中串聯-并聯電路的（a）T_RR和（b）α_ft的電路。

● 圖7b串聯-串聯電路的TPA：為得找A_ideal，讓g_m → ∞，如圖10a所示。這使得v_ε→ 0，從而在r_π上產生虛擬短路，所以i_R = v_i/R。超級節點處的KCL給出i_o = i_R = v_i/R，所以A_ideal=i_o/v_i=1/R(=1/β_TP)。要得到α_TP，按圖10b繼續。結果如下：

帶入數據，得出：

圖10：用于得到圖7b中串聯-串聯電路的（a）T_RR和（b）α_ft的電路。

● 圖7b串聯-串聯電路的RRA：為得出T_RR，參見圖11a。 這與圖9a相同，所以我們有相同的T_RR。要得到α_ft，按圖11b繼續。結果如下：

帶入數據，得出：

串聯-串聯電路的饋通比串聯-并聯電路的小，所以A_TP →A_RR。

圖11：用于得到圖7b中串聯-串聯電路的（a）T_RR和（b）α_ft的電路。

比較TPA和RRA

前面利用以運放和晶體管作為增益元件（運放的增益為α_v，晶體管的為g_m）的簡單電路，討論了所有四種反饋拓撲結構。比較過程和結果，我們發現：

• RRA比TPA更通用，因為它考慮了誤差放大器周圍的饋通。因此，RRA的結果是準確的，而TPA的結果只是近似。

• 對于高環路增益，TPA和RRA之間的差別最小，當環路增益下降到零時，差別最大，其中A_RR→α_ft但A_TP→0。

• TPA將環路增益計算為乘積TTP = α_TPβ_TP；RRA將其計算為比值T_RR = –v_R/v_T。

• TPA對四種反饋拓撲中的每一種都使用了不同的雙端口表述，所以一般情況下，不同拓撲結構的α_TP、β_TP和T_TP會不同。

• 相比之下，給定電路的環路增益T_RR與拓撲結構無關，而是取決于輸入和輸出信號的類型和位置（但α_ft通常與拓撲結構相關）。

• 對于誤差放大器和反饋網絡之間的任何交互（如加載），兩種分析的處理方式都不同。TPA假定β_TP = 1/A_ideal，然后通過使用OC和SC近似來操控放大器電路以得到α_TP，所以通常α_TP≠α_v(或α_TP≠g_m)。

• 除打破信號注入環路之外，RRA不會影響電路的操作。 RRA假定了α_RR = α_v (或α_RR = g_m)，它將誤差放大器和反饋網絡間相互作用的影響轉移到反饋網絡本身，所以通常β_RR≠1/A_ideal。

• TTP和TRR有時可能相同，但不應該把這當作常態。尤其不應該使用T_RR來計算A_TP，或使用T_TP計算A_RR。例如，在嘗試使用公式（3）時發生的錯誤。

• RRA感覺更直觀，也更適合實驗室的計算機模擬或測試。另一方面，TPA迫使你以更能揭示放大器和反饋網絡之間相互作用的方式來剖析電路。

開放問題

你更喜歡哪種方法？大學課程是否應該涵蓋這兩種方法？對這兩種方法是應予以同樣的重視，還是應舍棄其中一種？如果要舍棄一種方法，會是哪種？歡迎發表意見！

本文轉載自電子技術設計。

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